Integral is fun

A. Pengertian Integral

Setiap hari, tentulah kita melakukan aktivitas, seperti menghirup udara dan melepaskan udara. Melepas udara merupakan operasi kebalikan (invers) dari menghirup udara. Dalam matematika, kita juga mengenal operasi kebalikan (invers), contohnya pengurangan dengan penjumlahan, perkalian dengan pembagian, pemangkatan dengan penarikan akar, dan sebagainya. Pada subbab ini kita akan mempelajari invers dari diferensial, yaitu integral.

Kita telah mempelajari arti diferensial atau turunan di kelas XI. Jika kita mempunyai f(x) = x2 + 4, turunannya adalah f'(x) = 2x. Dari contoh fungsi tersebut, kita dapat menentukan suatu fungsi yang turunannya f'(x) = 2x, yang disebut sebagai antiturunan atau antidiferensial atau pengintegralan. Jadi, pengintegralan merupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan.

Misalnya diketahui f'(x) = 2x, fungsi ini merupakan turunan dari f(x) = x2 + 10, f(x) = x2 – log 3, atau f(x) = x2 + 2  .

Terlihat fungsi-fungsi ini hanya berbeda konstantanya saja.

Secara umum, dapat dituliskan bahwa f(x) = x2 + c merupakan antiturunan dari f'(x) = 2x, dengan c adalah bilangan real sembarang.

Dari uraian di atas dapat didefinisikan sebagai berikut.

Fungsi F(x) disebut antiturunan dari f(x) pada suatu domain jika  [F(x)] = f(x).

B. Integral Tak Tentu

Misalkan diberi fungsi sebagai berikut :

y = x2 + 2x + 5

y = x2 + 2x – 2

Kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu  = 2x + 2. Sekarang, tinjau balik. Misalkan diberikan  2x + 2. Jika dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsi

y = x2 + 2x + 5,

y = x2 + 2x – 2,

bahkan,

y = x2 + 2x + 10,

y = x2 + 2x – log 3,

dan sebagainya.

Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan  = 2x + 2 bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan tetap saja (seperti 5, –2, 10, log 3, dan seterusnya). Bilangan-bilangan ini dapat disimbolkan dengan c. Karena nilai c itulah hasil integral ini disebut integral tak tentu.

1. Notasi Integral Tak Tentu

Perhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara umum, jika F(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentuk :

ʃ f(x) dx=F(x)+c

dibaca ”integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x) + c”.

Keterangan:

ʃ f (x) dx = notasi integral tak tentu

F(x) + c = fungsi antiturunan

f(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)

c = konstanta

dx = diferensial (turunan) dari x

2. Rumus Dasar Integral Tak Tentu

Pada subbab ini, akan dibahas integral fungsi aljabar saja. Oleh karena itu, kalian harus ingat kembali turunan fungsi aljabar yang telah kalian pelajari di kelas XI.

Pada pembahasan kalkulus diferensial atau turunan, diketahui bahwa turunan dari  + c ke x adalah : 

 [ + c] = (n + 1)  = (n + 1) xn .

Dengan mengalikan  , untuk n ≠ –1 pada kedua ruas, diperoleh :

Jadi,  [ + c] =  (n+1) xn = xn ............................................... (1)

Jika persamaan (1) dituliskan dalam bentuk integral, kalian akan memperoleh :

ʃ xn dx =  + c ; n ≠ –1

Bagaimana jika n = 0? Apa yang kalian peroleh? Tentu saja untuk n = 0, persamaan di atas menjadi ʃ dx = x + c.

Pada materi diferensial, kalian telah mengetahui jika y = F(x) + G(x) maka turunannya adalah  = f(x) + g(x), dengan f(x) turunan dari F(x) dan g(x) turunan dari G(x).

Dengan demikian, dapat dinyatakan bahwa

ʃ [f(x)+g(x)] dx = ʃ f(x) dx + ʃ g(x) dx.

Hal ini juga berlaku untuk operasi pengurangan.

Dari uraian di atas, kita dapat menuliskan rumus-rumus dasar integral tak tentu sebagai berikut.

1) ʃ a dx = ax + c

2) ʃa f (x) dx = a ʃf (x) dx

3) ʃ xn dx =   + c ; n ≠ –1

4) ʃ axn dx =   + c ; n ≠ –1

5) ʃ[ f (x) + g(x)] dx = ʃf (x) dx + ʃ g(x) dx

6) ʃ[ f (x) ʃ g(x)] dx = ʃ f (x) dx - ʃ g(x) dx

Contoh Soal Integral 1:

Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut.

a. ʃ 5 dx

b. ʃ 4x5 dx

c. ʃ2  dx

Pembahasan :

a. ʃ 5 dx = 5 ʃ dx = 5x + c

b. ʃ 4x5 dx = 4 ʃ x5 dx =  x5 + 1 + c =  x6 + c =  x6 +c

c. ʃ 2  dx = 2 ʃx dx =  + c =  + c =  + c

Contoh Soal Integral 2:

Selesaikan setiap pengintegralan berikut.

a. ʃ x4  dx

b. ʃ (x + 3)2 dx

Penyelesaian :

a. ʃ x4  dx = ʃ x4 . x1/2 dx = ʃ  dx =  dx + c =  + c

b. ʃ (x + 3)2 dx = ʃ (x2 + 6x + 9) dx =  x3 + 3x2 + 9x + c

3. Menentukan Persamaan Kurva

Di kelas XI, kalian telah mempelajari gradien dan persamaan garis singgung kurva di suatu titik. Jika y = f(x), gradien garis singgung kurva di sembarang titik pada kurva adalah y' =  = f'(x). Oleh karena itu, jika gradien garis singgungnya sudah diketahui maka persamaan kurvanya dapat ditentukan dengan cara berikut.

y = ʃ f ' (x) dx = f(x) + c

Jika salah satu titik yang melalui kurva diketahui, nilai c dapat diketahui sehingga persamaan kurvanya dapat ditentukan.

Contoh Soal 3 :

Diketahui turunan dari y = f(x) adalah  = f '(x) = 2x + 3.

Jika kurva y = f(x) melalui titik (1, 6), tentukan persamaan kurva tersebut.

Jawaban :

Diketahui f '(x) = 2x + 3.

Dengan demikian, y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x2 + 3x + c.

Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 sehingga dapat kita tentukan nilai c, yaitu 1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.

Jadi, persamaan kurva yang dimaksud adalah y = f(x) = x2 + 3x + 2.

Contoh Soal 4 :

Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) adalah 2x – 7. Jika kurva tersebut melalui titik (4, –2), tentukanlah persamaan kurvanya.

Penyelesaian :

Gradien garis singgung adalah f '(x) =  = 2x – 7 sehingga :

y = f(x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 – 7x + c.

Karena kurva melalui titik (4, –2) maka :

f(4) = –2 ↔ 42 – 7(4) + c = –2

↔ –12 + c = –2

↔ c = 10

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = x2 – 7x + 10.

Contoh Soal 5 :

Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 4Q2 – 3Q + 5, dengan Q = banyak unit dan biaya tetap k = 3, k adalah konstanta integral. Tentukan persamaan biaya total (C).

Pembahasan :

Fungsi biaya marginal MC = 4Q2 – 3Q + 5.

MC = dC / dQ = dengan kata lain dC = MC dQ

C = ʃ MC dQ

= ʃ (4Q2 – 3Q + 5) dQ

= 4/3 Q3 - 3/2 Q2 + 5Q + k

Oleh karena itu, C = 4/3 Q3 - 3/2 Q2 + 5Q + k

C. Integral Tertentu

1. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu Bidang Datar

Kalian pasti sudah pernah mempelajari perhitungan luas bangun datar. Bangun datar apa saja yang sudah kalian kenal? Bangun datar yang kalian kenal pasti merupakan bangun datar beraturan, misalnya segitiga, segi empat, lingkaran, dan sebagainya.

Gambar 2. Bangun datar yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, serta garis x = a dan y = b.

Perhatikan Gambar 2. Apakah gambar daerah yang diarsir tersebut merupakan bangun datar yang sudah kalian kenal?

Termasuk bangun apakah gambar daerah tersebut? Dapatkah kalian menentukan luas bangun datar tersebut dengan rumus yang sudah kalian kenal? Tentu saja tidak. Daerah atau bangun datar pada Gambar 2. merupakan bangun datar yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, serta garis x = a dan y = b.

Untuk memahami pengertian integral sebagai luas suatu bidang datar, perhatikan Gambar 2. Daerah yang diarsir adalah suatu daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu X dari a sampai b. Dimisalkan fungsi y = f(x) terdefinisi pada interval tertutup [a, b].

Bagilah interval tertutup tersebut menjadi n buah subinterval yang sama lebar sehingga terdapat n buah titik tengah, yaitu x1, x2, x3, ..., xn, dengan x1 = ½ (t0 + t1), x2 = ½ (t1 + t2), ..., xn = ½ (tn–1 + tn) (perhatikan Gambar 3). Dimisalkan ujung paling kiri interval adalah t0 = a dan ujung paling kanan adalah tn = b dengan a < t1 < t2 ... < tn–1 < b.

Gambar 3. Interval tertutup tersebut menjadi n buah subinterval yang sama lebar sehingga terdapat n buah titik tengah.

Misalkan panjang tiap subinterval adalah ti – ti–1 = ∆x. Pada tiap subinterval [ti–1, ti], tempatkan sebuah titik x (tidak harus di tengah, boleh sama dengan titik ujungnya).

Domain fungsi y = f(x) dibagi menjadi n buah subinterval dengan alas ∆x dan tinggi f(xi) sehingga membentuk pias-pias persegi panjang. Luas masing-masing persegi panjang adalah f(xi) ∆x. Jika semua luas persegi panjang dijumlahkan maka diperoleh :

J = f(x1) ∆x + f(x2) ∆x + f(x3) ∆x + ... +f(xn) ∆x .

J = (f(x1) + f(x2) + f(x3) + ... + f(xn)) ∆x

J =  f (xi) ∆x

dengan Σ merupakan notasi jumlah yang berurutan. J disebut dengan jumlahan Riemann. Notasi ini pertama kali digunakan oleh Bernhard Riemann.
Gambar 4. Jumlahan Riemann itu mendekati luas daerah yang diarsir.

Jika banyak pias n mendekati tak berhingga (n → ∞), jumlahan Riemann itu mendekati luas daerah dari Gambar 4. Oleh sebab itu, luas L dapat ditulis dalam bentuk :

L =  f (xi) ∆x ............................................. (1)

Jika n → ∞ maka ∆x → 0.

Integral tertentu f dari a sampai b dinyatakan dengan  f (x) dx dan oleh Riemann nilainya didefinisikan sebagai :

 f (x) dx =  f (xi) ∆x ............................................. (2)

Dari definisi integral tertentu di atas dapat dikatakan  f(x) dx menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh garis x = a, garis x = b, kurva y = f(x), dan sumbu X.
Gambar 5. luas daerah yang dibatasi oleh garis x = a, garis x = b, kurva y = f(x), dan sumbu X.

Perhatikan bahwa substitusi (1) dan (2) menghasilkan :

L =  f (x) dx ........................................................... (3)

Sekarang kita misalkan ʃ f (x) dx = F(x) + c. Luas L di atas merupakan fungsi dari x dengan x ϵ [a, b] berbentuk :

L(x) =  f (x) dx = F(x) + c

Jika nilai t ada pada interval [a, b], yaitu {x | a ≤ x ≤ b} kita dapat mendefinisikan luas L sebagai fungsi dari t berbentuk :

L(t) =  f (x) dx = F(t) + c

Akibat dari pemisalan di atas, akan diperoleh :

L(a) =  f (x) dx = F(a) + c = 0.

Sebab luas daerah dari x = a hingga x = a berbentuk ruas garis sehingga luasnya sama dengan nol. Karena L(a) = 0 maka diperoleh :

F(a) + c = 0 atau c = –F(a) ..................... (4)

Akibat lain dari pemisalan itu, akan diperoleh

L(b) =  f (x) dx = F(b) + c ................... (5)

Hasil substitusi dari persamaan (4) ke (5), diperoleh :

L(b) =  f (x) dx = F(b) – F(a)

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika L adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan garis x = b maka :

L =  f (x) dx = F(b) – F(a)

2. Pengertian Integral Tertentu

Kalian tahu bahwa :

 f (x) dx = F(b) – F(a)

menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b.

Misalkan f kontinu pada interval tertutup [a, b] atau a ≤ x ≤ b.

Jika F suatu fungsi sedemikian rupa sehingga F'(x) = f(x) untuk semua x pada [a, b], berlaku :

 f (x) dx =  = F(b) – F(a)

F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada a ≤ x ≤ b.

Menggambar Daerah yang Dibatasi oleh Kurva

Tentu kalian masih ingat bagaimana menggambar grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, maupun fungsi trigonometri. Grafik fungsi-fungsi tersebut banyak dibahas di sini, berkaitan dengan pencarian luas daerah yang batasi oleh kurva. Bagaimana cara menggambarkan daerah itu? Misalkan kita akan menggambar daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x dari x = 0 sampai x = 2, sumbu X, dan garis x = 2.

Langkah pertama adalah menggambar grafik f(x) = x.

Kemudian, tarik garis batasnya, yaitu dari x = 0 sampai x = 2 hingga memotong kurva. Arsir daerah yang berada di bawah kurva f(x) = x dari x = 0 sampai x = 2 dan di atas sumbu X. Hasilnya tampak seperti gambar di bawah ini.

Gambar 6. Menggambar Daerah yang Dibatasi oleh Kurva.

Bagaimana jika daerah yang akan digambar dibatasi oleh dua kurva? Pada dasarnya sama dengan cara di atas. Misalkan kita akan menggambar daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) = x dan g(x) = 2x dari x = 0 sampai x = 2 dan garis x = 2.

Terlebih dahulu, kita gambar f(x) = x dan g(x) = 2x pada bidang koordinat. Tarik garis batasnya, yaitu x = 0 dan x = 2 hingga memotong kedua grafik. Kemudian, arsir daerah yang dibatasi oleh grafik itu dari x = 0 sampai x = 2. Hasilnya tampak seperti gambar di samping.

Cobalah kalian gambar daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut.

1. f(x) = x2 dan sumbu X

2. f(x) = x2 dan g(x) = x

3. f(x) = x2 dan g(x) = x3

Contoh Soal 7 :

Tentukan integral tertentu untuk menghitung luas daerah yang diarsir pada gambar-gambar berikut.

Gambar 7. Menghitung luas daerah yang diarsir menggunakan integral tertentu.

Kunci Jawaban :

a. Gambar 7 (a) merupakan grafik garis lurus yang melalui titik (0, 3) dan (3, 0) maka persamaan garisnya adalah x + y = 3 atau y = 3 – x. Untuk batas kiri adalah sumbu Y, berarti x = 0 dan batas kanan adalah x =   3. Jadi, luas daerahnya dapat dinyatakan dengan  (3 - x) dx

b. Gambar 7 (b) merupakan suatu daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan kurva y = f(x). Karena kurva memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (6, 0) maka y = 6x – x2. Untuk batas kiri adalah garis x = 2 dan batas kanan adalah x = 4. Jadi, luas daerahnya dapat dinyatakan dengan  (6x - x2) dx.

Contoh Soal 8 :

Gambarkan daerah-daerah yang luasnya dinyatakan dengan integral berikut.

a.  (x + 2) dx

b.  (4 - x2) dx

Pembahasan :

a. Grafik y = f(x) = x + 2 mempunyai titik potong (0, 2) dan (–2, 0) sehingga  (x + 2) dx dapat digambarkan seperti pada Gambar 8.
Gambar 8. Grafik y = f(x) = x + 2.

b.  (4 - x2) dx

Diketahui f(x) = 4 – x2 dengan batas bawah x = 0 dan batas atas x = 2. Kurva f(x) = 4 – x2 merupakan parabola dengan titik potong (–2, 0) dan (2, 0) yang membuka ke bawah. Dengan demikian, daerah tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar 9.
Gambar 9. Kurva f(x) = 4 – x2

Contoh Soal 9 :

Tentukan nilai-nilai integral berikut.

a.  (x + 3) dx

b.  (x3 - x) dx

Penyelesaian :